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非線形性とフーリエ変換・スペクトルのお話

2018-08-11
けーさん

私が現在勉強しながら研究している非線形性に関する理論を簡単にまとめておきます.

もちろん,まだ一回も発表もしていない研究の内容をそのまま書くのはさすがにいけないので,ここではすでに世間ではよく知られているような内容のみをまとめておきます.

表記について

  • :虚数単位
  • :フーリエ変換

ここで,のスペクトル,を電力スペクトル密度とそれぞれ呼びます.

  • :ディラックのデルタ関数

  • :sinc関数

正弦波のフーリエ級数展開

まず,フーリエ変換について復習しておきます. 正弦波は周期関数なので,正弦波のフーリエ変換(スペクトル)はフーリエ級数に展開したときの係数で表せます.

ここで,周期の任意の信号の複素フーリエ係数がであれば,のスペクトルは次のように表せます.

そのため,まずは複素フーリエ係数を求めてみます. ここで,とは複素正弦波と信号の内積で計算されます.

のとき,になりますね?

では,話を戻して正弦波,つまりのときにはどうなるでしょうか? ここでは,オイラーの公式より

になることから直ちに

がわかります. つまり,正弦波のフーリエ変換はは次のようになります.

グラフで表すと以下の図のようになります. ここでは,ディラックのデルタ関数を表現するために矢印を用いて,その高さを係数にしています.

正弦波の電力スペクトル密度

矩形波のスペクトル

次に,よくある矩形波のスペクトルを考えてみます. ここでは周期の次のような矩形波を考えます.

ただし,上の式の定義外についてはが周期の周期関数となるように定義します.

この矩形波はを中心に半分の区間ではに,残り半分の区間ではになっています.

この矩形波のスペクトルを調べるために,まずは複素フーリエ係数を調べます. が偶関数であることに注目すると,

においては

を得ます. また,ではです. そのため,矩形波のスペクトルは

となります.

正弦波の電力スペクトル密度

非線形変換を受けた正弦波

ここで,次のような非線形関数を考えます.

この非線形関数が少しでも正に値を取ればに,少しでも負に値を取ればに,であればになるような関数です.

この関数は矩形波の定義に似ているかもしれませんが,周期関数ではありません.

この非線形関数を用いて矩形関数は次のように定義できます.

これを周波数領域で考えてみると,正弦波の2本の線スペクトルはな非線形特性を有するシステムを通過することで無限個の線スペクトルに化ける,と考えられます.

では,任意の非線形関数が与えられたとき,その非線形関数のどのような特徴が出力のスペクトルを決定づけるのでしょうか?

つまり,の特性だけがわかっているときに,正弦波を実際に適用することなくその出力のスペクトルを予想することはできるのでしょうか?

チェビシェフ多項式による展開

この問に関する答えは,意外かもしれませんが,チェビシェフ多項式という直交多項式にあります.

実は,任意の関数をチェビシェフ多項式で展開したときの係数と,のスペクトルにはある関係があります.

ここで,チェビシェフ多項式とはにおいて次の関係を満たすものです.

具体的には

となっています. また,面白い特性として

となります.

このチェビシェフ多項式を用いてのスペクトルは次のように記述できます.

なぜこんなことをするのでしょうか?

それは,の積分でと置換積分することでわかります.

で積分区間はです. また,になるので,

となります. よく観察してみれば,これは複素フーリエ係数そのものだということがわかります.

ん?じゃあこれは単に複素フーリエ係数を求める積分を変数変換しただけでは?と思うかもしれません.

そのとおりです!

ですが,もう少し考えていきましょう.

チェビシェフ多項式と係数を用いることで,任意の非線形関数を表現することができます. つまり,

となるがあります. そしてこのはフーリエ係数なのです.

何が嬉しいかというと, ある非線形な入出力特性をもつ素子や電気回路の特性をチェビシェフ多項式で近似したいとします.

この素子や回路の入力に正弦波を入れ,素子の出力をフーリエ変換すると,その係数が素子をチェビシェフ多項式で近似したときの係数になる,というのです!

さらに,逆も成り立ちます. チェビシェフ多項式を用いて特性が近似されたある素子に正弦波を入れたときの出力信号のフーリエ係数はチェビシェフ多項式の係数なのです

最後に

以上までは,入力信号を正弦波にしたときの結果を述べました. ここではもう少し拡張してみて,入力信号が逆正弦分布という確率分布に従う場合を考えてみます. この逆正弦分布の確率密度関数は

となります. のとき,やは逆正弦分布に従います.

を求めるときに用いた積分は,実は逆正弦分布に従う入力信号についてを求めていただなのです. そして,逆正弦分布に従う入力信号についてはチェビシェフ多項式が直交多項式となり,その係数はスペクトルと面白い関係を持ちます.


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